Wir hatten letztes Mal das, was wir jetzt eben gelernt hatten über die Grundlagen der Elastitätstheorie,

versucht mal zusammenzufassen am Beispiel von elastischen Stäben.

Auf das Thema möchte ich vielleicht noch mal ganz kurz zurückkommen, weil ich das Gefühl habe, dass Sie das vielleicht noch nicht so ganz mitbekommen haben.

Also, lassen Sie uns nochmal über elastische Stäbe reden.

Das ist eigentlich ein gutes Beispiel für das, was der Satz von Gleichung, den wir jetzt zur Verfügung haben, eigentlich leisten kann.

Aber zu dem Zweck lassen wir uns mal einfach, das steht jetzt nicht im Skript, das sollten Sie gegebenenfalls einfach aufpassen, folgende allgemeine Situation anschauen.

Wir haben also hier so einen Stab, die Koordinat X beginnt hier und der Stab hat insgesamt die Länge L.

Wir wollen vielleicht annehmen, dass hier eventuell eine verteilte Belastung wirke in normalen Richtungen.

Lassen Sie mich das vielleicht mit N bezeichnen.

Zusätzlich haben wir es vielleicht so, dass hier eine verteilte Wärmebelastung der Größe theta wirkt.

Dann möchte ich vielleicht hier nochmal Randbedingungen einführen, links und rechts, das wären hier vielleicht Auflagerkräfte A und B.

Und gegebenenfalls Verschiebungen an der Stelle X gleich Null, das wäre also U von Null und hier eben U an der Stelle X gleich L, U von L.

So, ich glaube das sind alle Größen, die hier auftauchen.

Egal was da jetzt konkret für Lager sind oder wie die Belastung wirklich aussieht.

Die Glatzvergleichung, die wir jetzt anschreiben, der gilt ganz allgemein.

Wir wollen eben vielleicht zusätzlich noch mal mit hinschreiben, dass dieser Stab erstens aus irgendeinem Material ist, das heißt, der hat eben natürlich ein Elastitätsmodul, davon hatten wir schon gesprochen.

Und der hat möglicherweise einen veränderlichen Querschnitt, das ist eben erfasst durch E mal A, das ist eben die sogenannte Dehnsteifigkeit.

Und wenn wir hier über die Temperatur reden, brauchen wir noch als weiteren Materialparameter den sogenannten Wärmeausdehnungskoeffizient.

Das könnte im allgemeinen Fall, das könnten alle Größen sein, die wir hier haben.

Und wie immer jetzt konkret auch die Aufgabe aussieht, also meinetwegen der Stab ist links und rechts eingespannt und wir haben nur Temperaturbelastung oder er ist eben auf der einen Seite frei und auf der anderen nur eingespannt und wir haben, was weiß ich, nur eine Einzellast an der anderen Seite.

Das trifft auf alle diese Fälle zu. Wir haben drei Gleichungen. Erstens, und das ist jetzt sozusagen das Paradigma für Elastitätstheorie, erstens wir haben die Gleichungen, die das Gleichgewicht beschreiben.

Die kennen wir schon, die Gleichungen, die kennen wir schon aus dem vorherigen Semester, denn da steht jetzt nichts anderes als das eben die, lassen Sie sich mal bei der allgemeinen Bezeichnung bleiben,

dass die Normalkraft N in dem Stab, dass die sich halt ändert infolge der negativen Längsbelastung. Das ist eine Gleichung, die hatten wir schon im ersten Semester uns überlegt.

Und das wird jetzt eben komplettiert durch Randbedingungen an der Stelle N und an der Stelle L. Da haben wir doch jetzt hier gerade, dass eben die Normalkraft an der Stelle N, das wäre hier ein negatives Schnittufer,

der würde die positive Normalkraft nach links zeigen, so wie ich jetzt hier dieses A gezeichnet habe, ob das eine Auflauereaktion ist oder eine vorgegebene Kraft, sei mal dahingestellt. Das wäre also Minus A.

Das ist ein anderes Vorzeichen. Und N an der Stelle L, an dieser Schnittstelle hier, oder an diesem Schnitt, ist ein positives Schnittufer, die positive Normalkraft zeigt nach rechts, genau wie die Kraft B hier.

Hier haben wir also Plus B. Das sind die statischen Randbedingungen, wenn Sie so wollen. Und welche wir davon jetzt wirklich benutzen, hängt eben dann von einer konkreten Aufgabestellung ab.

Zweitens haben wir eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Verschiebungen und den Verzerrungen. Das gilt auch ganz allgemein, unabhängig von dem Problem, was wir uns anschauen.

Das wäre die Kinematik. Und bei der Kinematik steht eben hier nichts anderes, als dass die Verzerrungen oder die Dehnungen hier in 1D, dass die sich ergeben aus der Ableitung der Verschiebung.

Ja, unabhängig vom Problem gilt das immer. Allerdings können wir hier auch noch geometrische Randbedingungen mal hinschreiben, nämlich dass die Verschiebung an der Stelle Null, vielleicht mache ich es ein bisschen anders,

lassen Sie mich das hier mit U0 bezeichnen, das mit UL. Kann ich das schöner schreiben?

Dass das eben gerade gegeben ist durch diesen Wert U0, der könnte natürlich auch Null sein bei einer Einspannung zum Beispiel. Und U an der Stelle L könnte eben dieser Wert sein, UL.

So, diese Gleichungen hier, die gelten natürlich immer. Und das, was jetzt ganz spezifisch ist für das Material, das wir betrachten wollen, das ist jetzt in dem Stoffgesetz eingraviert.

Und wir hatten uns ja von vornherein hier beschränkt auf lineaelastische Materialien. Das wäre also dann hier das Stoffgesetz.

Und das Stoffgesetz, das verknüpft jetzt eben gerade die Verzerrungen mit den Spannungen. Und das hatten wir auf diese Art und Weise geschrieben, dass wir gesagt haben, die Verzerrungen ergeben sich zum Teil in Folge der Spannungen,

die organischen Spannungen, und zwar über den sogenannten Elastitätsmodul. Und falls jetzt eben hier zusätzlich noch Temperatur im Spiel ist,

bekommen wir noch weiter eine Dehnung hier, die ergibt sich aus dem Temperaturausdehnungskoeffizienten α mal diesen Wert Teta, wobei Teta die Temperaturerhöhung ist gegenüber irgendeiner Referenz Temperatur, sage ich mal Raumtemperatur zum Beispiel.

Diese drei Gleichungen und die Randbedingungen, die können wir immer irgendwie einander einsetzen. Zum Beispiel können wir jetzt mal Folgendes machen.

Das, was hier steht, kann ich jetzt ja umformulieren, sodass da auf einmal Sigma steht. Das ist jetzt nichts anderes, deswegen schreibe ich das mal in einer anderen Farbe hin. Also Sigma ergibt sich denn hier aus Elastitätsmodul mal den Verzerrungen minus α e mal Teta.

Die Verzerrungen, meine Damen und Herren, ergeben sich eben hier aus der Ableitung der Verschiebungen. Das heißt, wenn ich dieses Ergebnis nehme und hier einsetze, dann folgt hier raus weiterum,

dass Sigma e mal die Ableitung der Verschiebungen ist minus α e. Nein, hier ist natürlich ein Fehler, oder nicht? Nein, doch kein Fehler. Sie würden mir das schon sagen, oder?

Schließlich und letztlich, wenn ich das habe, dann weiß ich den Zusammenhang zwischen den Spannungen und den Normalkräften in dem Stab. Das ist eben in diesem Fall ganz einfach.

Ich multipliziere das einfach mit der Querschnittsfläche und ich kann dann also zum Schluss, wenn ich das berücksichtige und hier einsetze, dann bekomme ich doch hier zum Schluss folgenden Ausdruck.

Dann bekomme ich also e mal a, diese schon eben angesprochene Dehnsteifigkeit, dann bekomme ich, ich klammer das mal ein bisschen aus, U' minus α mal Teta.

Und das Ganze muss ich jetzt hier einmal ableiten und besetze das gleich mit der negativen Längsbelastung.

Was wir hier zum Schluss bekommen haben, durch einfach einander einsetzen, ist eine Gleichung für die Verschiebungen in Form von ihren Ableitungen und zwar in Form von ihren zweiten Ableitungen.

Das ist eine sogenannte Verschiebungsdifferential-Gleichung, vielleicht darf ich das nochmal hier oben hinkopieren, dass Sie das nochmal sehen.

Ich lache Ihnen hier nochmal den Gedankengang, drei in zwei in eins liefert die sogenannte Verschiebungsdifferential-Gleichung eben in dieser Form, wie wir Sie da eben sehen.

E mal a mal U' gegebenenfalls α Teta, außen rum hier nochmal ein Strich, gleich minus n.

Aus dieser Gleichung kann ich hier ganz allgemein durch Integration, durch zweimaliges Integrieren natürlich die Verschiebungen berechnen.